用无网格局部彼得罗夫-伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题论文.pdf
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摘要 内容摘要:无网格局部彼得罗夫一伽辽金(MLPG)法是一种偏微分方程数值求解的新方 法。该方法在对微分方程数值离散时不需要网格,因此不仅避免了生成网格的复杂过程, 而且消除了传统网格方法(如有限元法、有限差分法等)中因网格畸变带来的不利影响, 是真正的无网格数值方法。本文概括了MLPG方法的主要原理,并将这种方法应用于求 解非均质多孔介质中的水流问题。全文共分五章。第一章主要总结了无网格方法及 MLPG法近年来的发展和研究现状。第二章是预备知识,首先介绍了求解偏微分方程的 加权残量法,然后概述了本文建立的MLPG法的近似方案——移动最小二乘近似。第三 章对二维地下水稳定和非稳定流的MLPG方程进行了推导。第四章将MLPG法用于地 下水数值模拟中,用MLPG法对水文地质参数按函数连续变化、渐变和突变3种非均质 多孔介质中的二维地下水稳定流、非稳定流分别用MLPG和有限元法进行了计算,得到 了满意的结果。第五章对MLPG法进行了总结与展望。 模拟 Abstract Content:TheMeshlessLocalPetrov—Galerkin a meshlessnumerical Method(MLPG)istruly methodin differential doesnotneedmeshmoreinthe solvingpartial equations.It any process of drawbacksencounteredinthetraditional discretizinggoverningequations,therefore,the mesh—based asthefiniteelement methods(such methodandthefinitedifference method)is alleviated.Inthis themain oftheMLPGand this dissertation,werecapitulatetheory apply methodtosolvethecurrent of media problemporous in field.This groundwaterpaper consistsoffive summarizethe andthe ofthe chapters.Inchapter1,we history development meshlessmethod the 2includesthe especiallyMLPG.Chapter preliminary firstreviewan andefficientmethodin differential important solvingpartial equation····-·the Residual then the Least is Weighted Methods,and MovingSquareapproximationpresented. Followed deducetheMLPG forstableandunstable by 3,we Chapter governingequations intwodimensions.In MLPGis tosimulatethe groundwater 4,the chapter applied flow and flowin media groundwater is,steady problems,that unsteadyheterogeneousporous withthreekindsof aremadewiththefinite hydro-geologicalparameters.Comparisons elementmethod.Numericalresultsshowthat than theMLPGisbetter thetraditional mesh—basedmethodsinthe of andsolution thelast aspects computation accuracy.In chapter, someconclusionsand oftheMLPGare prospects given. words:LocalPetrov·Galerkin least Key method(MLPG),movingsquare simulationof media,heterogeneous,numericalgroundwater 学位论文独创性声明 本人承诺:所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外,不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果,其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助,均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名: 塞!主!丝 . 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定,及学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交复印件或磁盘,允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁师范大学,可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文,并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名: 翼!茎!丝 指导教师签名:【出量型 . 签名同期: -,口夕年 )Et 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 用无网格局部彼得罗夫一伽辽金法求解非均质 多孔介质中的水流问题 1引言 1.1历史概述及研究背景 1.1.1历史背景 科学与工程计算领域中的很多问题都归结为微分方程定解问题的数值求解,目前使 用最广泛的数值求解方法之一是有限元法。有限元方法的一个固有缺陷是带有网格,生 成网格是有限元前处理工作的主要内容之一,网格的使用给问题求解带来了不便。在用 有限元法求解动态问题时,有限元网格可能会产生严重扭曲,不仅需要网格重构,而且 严重地影响解的精度。虽然商用有限元前后处理软件得到了较大的发展,但复杂问题的 有限元网格自动生成与重构仍然是极具挑战力的任务。其它基于网格的数值方法,如有 限差分法、边界元法等也或多或少的具有这样的问题。因此,寻求一种不需要网格划分 method)就是在 的数值求解方法,始终是世界各国学者关注的焦点。无网格法(meshless 这样的背景下提出的。 1.1.2.无网格方法的提出和发展 Particle Johnson等人提出了一些改善应变计算的方法,Liu等人也提出了对核函数的修正方案。 Method, MLS)iJl入至lJGalerkin法中,提出了漫射元法(Diffuse.Element 被Nayroles忽略的所有项,并利用拉格朗日乘子法引入本质边界条件,提出了无单元伽 辽金法(111eElementFreeGalerkin 采用节点积分方案来代替EFG中背景网格的积分,提出了节点积分无单元伽辽金法 定化节点积分法(StabilizedNodal ConformingIntegration KernelParticleMethod, 函数积分变换的思想,提出了再生核粒子法(Reproducing Scale Kernel RKPM),并依据小波思想,构造了多尺度再生核粒子法(Multi Reproducing 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 Particle Method,MRKPM)。 通过在HP—Clouds空间引入单位分解函数,可以建立任意阶连续光滑的基函数。之后, Clouds—BasesFEM” Oden和Duarte等n町用有限元函数作为单位分解函数,提出了‘New 法,这种方法需要借助有限元网格,虽然破坏了“无网格”的部分特性,但却给问题的 Point 伽辽金方法出发,利用微分方程的局部弱形式,并使用MLS做为解函数的近似,建立了 LocalPetrov.Galerkin 无网格局部彼得罗夫伽辽金法(Meshless 将边界元法的思想引入到无网格方法的研究当中,提出了局部边界积分方程法(Local method,LBIE)。 boundaryintegralequation 近几年来,无网格方法发展非常迅猛,随着越来越多研究人员的关注和研究投入, 无网格方法的发展和应用前景将更加广阔。 1.1.3.局部彼得罗夫伽辽金法的发展 无网格局部彼得罗夫伽辽金法(MLPG)是上世纪末在国际上兴起的一种真正的无网 格方法,它一般采用移动最小二乘法构造试函数,并且采用移动最d,-乘法的权函数作 为加权残量法的权函数。在传统的Galerkin方法中,权函数取与试函数相同的基函数, 因此权函数和试函数取自同一函数空间,而在MLPG法中,权函数取与试函数取自不同 的函数空间,并且节点试函数和权函数所取的不为零的子域的尺寸也各不同。MLPG法 的基本思路是由子域上的加权残量法推出一个局部彼得罗夫伽辽金积分方程,利用此方 程,将整个求解域及其边界上的问题转变成求解规则的局部子域上的积分方程的问题。 虽然MLPG法这个概念出现不久,但各种MLPG方法便在诸多文献中相继出现, 其方法各不相同,有的应用不同的插值方案,有的应用不同的权函数,有的应用不同形 状的试函数支撑域,有的应用不同形状的局部子域。事实上,如果有A个不同的试函数 插值方案,B个不同的权函数,C个不同形状的试函数支撑域,D个不同形状的权函数 基于MLPG法概念的基础之上,我们可以通过一系列方法来选择局部子域上的权函 数,在局部弱形式内(¨吓)使用权函数时,可获得和节点数一样多的方程。因为将LWF 每用于一点或用于一区域就可获得一个代数方程。因此,为了获得与未知量一样多的方 程,在整个区域内需要划分与节点数一样多的局部子域。相应地可选取如下权函数: 2 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 (3)与试函数完全一致的权函数;(4)配点Dirae’sDelta函数;(5)在微分方程当中应用离 散最小二乘的误差函数;(6)修正微分方程的基本解;(7)其它更好的函数等。将上述前 n31。 MLPG方法可归述为表1 表1㈣MLPG方法列表 力学问题薄梁,厚梁的4阶常微分方程,板结构,线性断裂问题,流体力学等问题都可 比有限元法简便,并能任意构造高阶连续近似场函数而不会出现有限元法中的协调性问 题;该方法与无单元伽辽金法(EFGM)相比,两者具有相同的计算精度和相当的计算工作 量,但MLPG法不需要借助背景网格,所以求解问题更灵活、通用性更好。 1.1.4地下水问题的数值模拟方法 地下水是世界各国城市生活和工农业用水的重要供水水源。以我国城市用水为例, 3 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 全国约有2/3的城市和部分农田都以地下水作为重要的供水水源。但据市节水办统计, 目前地下水处于严重超采状态。因超采造成了大面积地下水位平均以(0.5~0.6)m/a 的速度下降,形成了区域性地下水下降漏斗。由此会引发地下水质恶化,不良地质环境 现象,地面沉降等一系列问题,造成更大的经济损失。 由此可见,如何合理利用好地下水资源,是一个值得深入研究和探讨的问题。利用 数值模拟对地下水流等问题进行模拟的方法以其有效性、灵活性和相对廉价性受到越来 越多的重视和广泛的应用。其中包括:水资源评价问题;地下水污染问题;热量运移和 含水层贮能问题;地下水管理与合理开发、地下水—地表水联合评价等。 从目前情况看,地下水数值模拟中存在的问题 (1)各学科之间难以沟通,侧重的时间或空间尺度存在较大差异,地下水、地表 状况、土壤、植被、气候变量和土地利用等都存在时空变异性,模型的耦合集成存在较 大的难度。 (2)该领域研究工作的深入越来越依赖于综合集成和跨学科协同攻关,发挥互补 作用,可以解决各学科不同模型存在的一些缺陷。 (3)模型中参数的不确定性将导致计算水头、流速的不确定性,影响到模拟结果 的可靠性。如何加强参数的研究,提高地下水资源数值模拟的精度仍是亟待解决的问题。 (4)长期持续的三维观测数据的获取及具有更高实际价值的三维模型的建立是值 得重视的工作。另外,在应用外国先进的地下水资源数值模拟软件的同时,要加快研发 有我国自主生产权的通用软件。 (5)如何运用地下水溶质运移模型分析边界条件的变化、水化学作用和地球化学 环境的演变情况?如何从数值法的角度评价并预测地下水的水质?量化气候、土地利用 和人类活动对地下水有何影响?如何实现地下水资源的可持续利用?对这些问题的回 答具有重要的理论和实际意义。 目前,在地下水领域内常用的数值模拟方法有:有限差分法、有限元法、边界元法 等。然而其中任一种方法都不可能非常有效地解决所有数学物理方程,并且他们共同的 缺点是所需耗费的成本都很高。为解决这一问题,将MLPG法应用到地下水数值模拟中 是非常有意义的尝试。因为这种方法的易用性和精度都较传统网格方法有了较大提高, 可以更有效的解决问题,并且大大降低了成本。 1.2本文的主要研究内容: 本文主要对无网格方法MLPG法发展现状进行了分析总结,将MLPG法应用于非 均质多孔介质中的流动问题,对二维地下水稳定和非稳定流的MLPG方程进行了推导, 对水文地质参数按函数连续变化、渐变和突变3种非均质多孔介质中的二维地下水稳定 流、非稳定流的应用实例分别用MLPG和有限元法进行了比较计算。 4 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 A[u(x)】:{4【u‘x)】}:o(在Q内) (2.1.1) 【厶【u(x)】J f骂【u(x)】] B【u(x)】:{垦‘l『‘x)1}:o(在r内) (2.1.2) 1 Bml【u(x)】J 其中4和E是微分算子,11是域Q的边界,x表示平面点x=k X2]r或空间点 x=【而恐划1,u(x)可以是标量场或向量场。 函数v和v都有下式成立: B【u(对】dI’=o (2.1.3) 上V7’A[u(x)]df2+Iv7 微分方程(2.1.1)和边界条件(2.1.2)的等效积分形式。 的线) u(x)≈Uh(x)=∑N;(x)u。=NT(x)u t=i 般而言,当胛越大时,近似解u6(x)与精确解的拟合程度越高,当项数甩趋于无穷大时, u“(x)将收敛于u(x)。 将近似解U6(x)带入微分方程和边界条件时将会产生残量R和瓦: 5 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 (2.1.5) R(x)=A[u6(x)],莨(x)=B[u6(x)] 为寻求u(x)的最佳近似解,一般方法是任取权函数v和v,使得残量满足 (2-l-6) LvrR(x)df2+∥聂(x)dr=0 则残量R和R分别在域Q及边界r上任意点必定为零。 在实际求解过程中,一般是将权函数v和V取为一组基函数的线性组合: V=ZbjW,,-ybjwj (2.1.7) 其中,.≥刀。将上式代人(2.1.6)中并考虑到屯的任意性,得到 j=l,2,…,,. (2.1.81) .[aWrR(x)df2+f可2酗dr=o 为降低算子A和B中所含导数的阶次,在很多情况下还可对上式进行分部积分,得到 j『=1,2,…,,. (2.1.9) LcEw:’pMx)p+川mw,T睢u6(x)]订=o 的连续性要求,但对实际问题而言,往往能给Z:l:l较原微分方程更好的近似解。 所谓的无网格方法,就是试探函数只利用离散点来建立,并由加权残量法导出的所 有方法的统称。 2.2局部彼得罗夫一伽辽金法 将(2.1.4)代入(2.1.6)中并且取 J=1,2,…,刀 (2.1.10) wj=Nj,wj=一N., 并将检验函数(2.1.10)带入(2.1.8)中,得到 自同一函数空间。如果允许试探函数与检验函数取自不同函数空间,这样的方法就称为 彼得罗夫.伽辽金法。 如果要求方程的残差在区域Q的,.个子域Q,内及其边界r,上消除,即 L叫扣咖,卜f,髟B融cx如,卜。川幺…,,.眨¨2, 且检验函数和试探函数不同,则这样的方法就称为局部彼得罗夫一伽辽金法。其中I』是 用无网格局部彼得罗夫伽iZ金法求解非均质多孔介质中的水流问题 子域Q』的边界。 2.3移动最,b--乘近似 2.3.1基本原理 函数u(x)的全局近似函数“6(x)问题。 待求函数甜(x)在计算点X的邻域Q,内可以局部近似为 /./h(】【’i)=∑B(i)口。(x)=p7’(习a(x) (2.3.1.1) 足 f=l,2,…,m A(i)=l,B(习∈C‘(Q) (2.3.1.2) 其中C‘(Q)表示域Q内具有k阶连续导数的函数空间。一般用单项式作为基函数。 二维空间中单项式基函数为, 线 二次基:pT(x)=[1,x,Y,x2xy,Y2], m=6 m=lO (2.3.1.3) 三次基:pT(习=[1,x,Y,x2矾y2,x3,z2Y,xy2,Y3], 基函数个数m与基函数所包含的最高阶完备多项式的阶数k以及待求问题的数 %之间满足如下关系 =~ m:!查±!燮±鲨!查±型 IZ.j.1.4l (2.3.1.4) nd: 零,即该函数是紧支的。区域Q,称为权函数Ⅵ(x)或节点X。的支撑域。假设计算点x的 邻域Q包含Ⅳ个节点,近似函数矿(x,i)在这个节点孓=x。处的误差加权平方和为 /=∑M(x)∥(马x。)--Z/(X。)】2 7 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 Ⅳ 册 =∑H(x)【∑B(x。)q(x)一材,】2 (2.3.1.5) l=l t=l 令J取最小值可得 (2.3.1.6) m Ⅳ (2.3.1.7) ∑¨(x)只(x)乃(x)】q(x)=【∑w,(x)岛(x。)】甜, i=l l=l 从而 A(x)a(x)=B(x)u (2.3.1.8) 式中, Ⅳ 7’(x。) (2.3.1.9) A(x)=∑H(x)p(x。)p 1=1 (2.3.2.O) B(x)=【Ⅵ(x)p(x1),w2(x)p(x2),…,h(x)p(xN)】 由式(2.3.1.8)解出 a(x)=A一(x)B(x)u (2.3.2.1) 将上式代人(2.3.1.1)中得 甜^(x’x-)=pT(孓)A。1(x)B(x)u=N(x,X)u(2.3.2.2) 其中 N(x,两=pT(习A‘1(x)B(x) (2.3.2.3) 近似。Q中的所有点x都可以在其邻域内建立“(x)的局部最佳近似,这些局部近似函数 (如图1所示),即 (2.3.2.4) u(x)≈甜^(x)=Uh(xx--)l。。i=N(x)u 其中 (2.3.2.5) N(x)=N(x,x-)I。.i=pT(习Ad(x)B(x) 8 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 ●,、 翰 ’_一 蔷 ? 霉1 零 图1局部近似和全局近似 令: r=A‘1P (2.3.2.6) 并对式(2.3.2.5)求导,可得到形函数的一阶和二阶导数: N乞=rr,B+r7B, (2.3.2.7a) ,J ,, ’J N,k∥=I:;B+弓+CB,,+r71B,l, (2.3.2.7b) 式中下标“,f”表示对空间坐标x‘的导数。 ‘=A。1(p,,-A,,r) rf『=A。1(p,扩一A。,r.,一A,』r,一A,ofr) (2.3.2.8b) 2.3.2.权函数的选取 移动最小二乘近似求解中选取权函数时,应满足以下几点:(1)权函数具有紧支性; (2)权函数在整个求解域内非负;(3)单调性,即离影响域中心越近,函数值单调增加, 且在某个影响半径以外为零;(4)可确定惟一的系数a(x),权函数应具有一定阶次的连 续可导性,以保证形函数及近似解连续可导。 在实际问题求解中,常见的权函数有 (1)指数函数 矧 w(,.)={一P一矿 。一 阱2.3( ..1)2。, 帕,_j警1 1 0 ,.l 9 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 2+一44r,3 c2.3.2.2, 3,3·/r专_{l二/2≤· wc,.,={4/32一/43,.-+4三r,.2 帕叶您: (2.3.2.3) (4)四次样条函数 wc,,={1—6,.2苫,3—3,.4二三: c2.3.2.4, 将,.定义为,.=√iij历i乏而/‰,则节点_的支撑域为圆。以上都是支撑域为圆 形区域。各节点的支撑域也可取为矩形,其权函数为: 忡脚(X%--XI M等) 其中九和如为矩形支撑域在x方向和Y方向上的边长。矩形支撑域对于节点规则分布 的情况具有优势。 2.3.3计算点的定义域M 由(2.3.2.5)知,计算点的那些节点只有被支撑域覆盖了,才对MLS近似函数有作用, 所以MLS近似函数在计算点x处的定义域为各节点支撑域的并集。在二维问题中,节 点x。的支撑域多取为半径为如的圆形域或边长分别为办和九的矩形域。九的大小由 下式确定 2 dmlscalexcI 其中scale是大于l的乘子。c,的大小应保证在所有的计算点的定义域中有足够多的 节点之间的距离s[k】。 权函数w在节点x。处的值最大,而在其支撑域边界附近趋于零,因此位于计算点x的 定义域Q,附近的节点,虽然对(2.3.1.5)中泛函J的贡献很小,但却大大地增加了计算量, 因此在计算(2.3.1.5)中泛函J时,不考虑计算点定义域边界附近的节点是合理。 当C,=s【l(】时,各计算点定义域中的节点数将大于七。此时可以将支持域覆盖了计算 iO 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 点x的所有节点都取为该计算点定义域中的节点,也可以只取支撑域覆盖了该计算点的 距其最近的后个节点作为其定义域中的节点,以用来构造该计算点处的MLS近似函数。 一些文献中也将计算点x的定义域取为以点x为圆心的圆形域,其半径取为 ‰=scale×s[k】。 用无网格局部皱得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 3MLPG法的基本原理 3.1二维稳定流渗流问题的MLPG法 3.1.1局部积分弱形式 考虑地下水二维稳定渗流问题(椭圆方程混合边值问题): Q; -V(kVH)=f,(x,y)E 日lFl=H _OHI r2:g V(尼Ⅷ)=昙oX(七马Ox+南(七争鲫 卯 在区域Q的任意子区域g上使用加权残量法,可得 U—V(kVM)一厂pQ=0 为计算方便起见,一般选择具有规则形状的子域,如对于二维问题可以选择矩形、 圆形或椭圆形的子域,而对于三维问题可以选择长方体或球体形状的子域,如图2所示 的子域Q,,其边界讹,位于整个求解域边界上的部分记作F。,位于求解域内的部分记 边界条件上的部分。 r 图2局部子域及其边界示意图(引自文献【15】) 利用格林公式对(3.1.1.4)第一项进行分步积分,得 12 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 =L,b》一L舢删Q (3.1.1.5) 代入(3.1.1.4)中得到 (3.1.1.6) 一£加秘一工,。如争一-:加》+L舢·Vvd[2一L脚=o 为降低求解难度,选取以Q,为支持域的紧支检验函数y,它会使 £V‰On=。 再代入边界条件(3.1.1.3),则(3.1.1.6)式变为 (3.1.1.7) L七V日·V谢Q一工,。如秘一工,:kvqdS—L少dQ=o 或 (3.1.1.8) L后跗·V订Q—JIJ。加秘=JcI:加搬+L倒Q 在MLPG方法中,试探函数一般不能预先满足本质边值条件(第一类边值条件), 因此需要用其他方法引入这种条件,常用的方法有:拉格朗日乘子法、变换法、修正变 分原理、罚函数法和约束方程法等。例如,如果采用罚函数法引入本质边值条件(3.1.1.2), 则应将等式(3.1.1.4)修正为 (3.1.1.9) L【一V(七V日)一f]vdQ+al,。(日一一H)vdS=0 其中口为罚数,从而式(3.1.1.8)也相应变为 £,kVH-V记Q—l。加秘+口l。嬲 (3.1.1.10) =L:kvqdS+L倒Q+口l。fiVds 我们称式(3.1.1.8)或(3.1.1.10)为椭圆方程混合边值问题的局部积分弱形式。 3.1.2 MLPG法的离散形式 记Ⅳ=(Ⅳl,Ⅳ2,…,“)7’,d=(4,吱,…,丸)7’, 刚_[c警,c新 13 用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题 Ⅳ H≈∑Njdj=NTd, j宣1 带入(3.1.1.10)式,由于 ONr d+一Ov—ON。d:(垒, Ox 跗.v,:一OH—Ov+一OH—Ov:一Ov—ON7 、苏’ ONr 苏苏匆勿叙劫 勿勿 勿 aN, ● ● Ox I籼 ● 2 ● d:飞v1.勺N.d L夏’ aN, 砂 ● ● 砜卜毽;砜一砂 于是得到 或 (£,kVvr删叫:,。b挚+吐。vNdS)·d =f,:kvqdS+L彬Q+ot工r,,vHdS 对于每个任取的子域Q。都可以得到一个形如(3.1.2.2)的线性代数方程,通过恰当 的选择子域,得到与d的维数同样多的线性代数方程,那么就可以唯一解得d。假设选 择了Q的n个子域按如上方法就可以得到关于d的n个线性代数方程,将所有这些方程 联立,就得到MLPG法求解椭圆方程混合边值问题的系统方程 Kd=P (3.1.2.3) 式中 K=L撕丁删Q—l。知挚+口f,。一 (3.1.2.4) P=f,:k
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